Page 7 - eAC20310_數位邏輯設計 台科大版_課本PDF

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3 科學家小傳
數位邏輯設計 Chapter 3 布林代數與第摩根定理
3-1 布林代數的特質 3-1 隨堂練習 藉由相關歷史人物的傳記、
＿＿＿ 1. 布林代數是專門用來推論哪種邏輯關係的邏輯代數？
3-1.1 源起 (A) 二值 (B) 三值 (C) 四值 (D) 五值。
布林代數肇始於亞里士多德（Aristotle），其因受到日常二值邏輯的吸引，加以 ＿＿＿ 2. 布林代數是由誰發明的？ 故事，啟發學生的學習興趣，
嚴密的探討，並推論出事實與條件的因果關係。後經多位數學家的研究，直到 1854 (A) 喬治．布耳（George Boole） (B) 亞里士多德（Aristotle）
(C) 夏濃（C. E. Shannon） (D) 第摩根（Demorgan）。
年才由英國的數學家喬治．布耳（George Boole）以代數的方法取代了亞里士多德的 提高學習效果。
＿＿＿ 3. 布林代數中的任一變數 X，它的可能值為何？
文字敘述。這種二值代數系統，現在稱為布林代數。
(A) 整數 (B) 自然數 (C) 0 或 1 (D) 實數。
布林代數在發展完成後，因當時工業環境仍處人工操控的產業時代，並未被應
用到一般控制體系中。直到 1938 年，貝爾實驗室的研究員夏濃（C. E. Shannon）提
出以布林代數來分析並描述多重繼電器開關 ON、OFF 的操控狀態，才使布林代數被
大量的使用於工業控制系統與交換電路中。
科學家小傳
3-1.2 布林代數的特質
夏濃（C. E. Shannon, 1916-2001）
布林代數是一種雙值的代數系統，其旨在描述或設定事件的「真」、「偽」或 夏濃生於美國 密西根州的佩托斯基，他是一位數學家與電子工程
師。1937 年時，年僅 21 歲的碩士生夏濃，在麻省理工學院用布
成立與否。因此，若以 X 來代表某一事件，以 1 代表事件成立（為真），以 0 代表
耳代數構建和解決邏輯關係發表論文，被稱為當時最重要的碩士論
事件不成立（為偽）；則 X 變數必存在如下的基本特質： 文。在第二次世界大戰期間，夏濃於貝爾實驗室投入密碼分析與破
譯工作，終在 1948 年發表訊息理論，成就了訊息理論的一個新的
1. 若 X ≠ 1，則 X = 0。
里程碑，因而被尊稱為「信息理論之父」。
2. 若 X ≠ 0，則 X = 1。
也就是說，在布林代數中，任何變數 X 的值，只有 0 或 1 而已，至於其變數的
多寡則由條件來決定。以二輸入互斥或閘為例，它的輸出變數 y 與輸入變數 A、B 的 喬治．布耳（George Boole, 1815-1864）
關係為 y = AB + AB；其中 A、B 與 y 的值，都是非 0 即 1，而且 y 的輸出結果是由 A 喬治．布耳生於英格蘭的林肯。父親是皮匠，年少時由於家境困
苦，無力供他讀書。布耳不得不一邊工作協助養家，一邊自學。
與 B 兩變數來決定。因此，可說 y 是 A、B 的函數，即 y = f (A , B) = AB + AB。 但他始終沒忘記要讓自己接受良好的教育，因而努力不懈、勤勉
向學，最終成為 19 世紀最重要的數學家。
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4 隨堂練習
數位邏輯設計 Chapter 1 數位邏輯基本概念
1-1 數量表示法 1-1.2 數位表示法
數位表示法是一種「不連續的、近似的數量表示法」。如常見的數字鐘或數位 在節末設有選擇題，是各節重
在日常生活中，我們常會以不同的數量來表示所觀察到的事物，以便於記錄、
溫度計等都是，它的計量是由一種不連續的「單位量」所構成。如圖 1-1(b) 的數位
監控或推算其結果。例如：現在時間 3 點、溫度 25.5°C、車行速度每小時 99.08
溫度計，若將其最小單位取整數（即最小單位為 1°C），那麼室內溫度為 25.85°C， 要觀念的自我檢測，並於附錄
公里等。然而，在各種計量的情境中，為能有效的反應「真實」數量的大小。在
其測量值也只能顯示 25°C 或 26°C。即使將單位量變小也一樣，它只能更貼近「實
數量的表示上，大概可分為 類比表示法（analog representation） 與 數位表示法
際值」，還是無法連續的表達所有數量。
（digital representation）兩種。 提供簡答，達到即時訂正、立
例題 1-1
1-1.1 類比表示法 下列三種計量裝置所表達的數量是數位或是類比的？
(1) 日曆 (2) 指針式電流表 (3) 無段的音量控制 即診斷的效果。
類比表示法是一種「連續的數量表示法」。如傳統電表或轉速計等，它以指針
偏轉角度的大小來表達數量。因此，不論其測量值為何，都可以有一個數值與它真
實的對應，而不是近似的或是代表性的。如圖 1-1(a) 的水銀溫度計，它以水銀柱的
高度來代表溫度的高低。因此不論溫度為何，都有一個明確的溫度值與之對應。
解 (1) 日曆：數位；因是一天撕去一頁，對時間而言是間斷，而不連續的。
(2) 指針式電流表：類比；因數量的變化是連續的。
(3) 音量控制：類比；它是無段的，聲音大小與旋轉角度直接成正比。
1-1 隨堂練習
＿＿＿ 1. 數量表示法基本上可分為哪兩種？
(A) 數位系統與近似系統 (B) 數位系統與對數系統
(C) 類比系統與數位系統 (D) 類比系統與對數系統。
(a) 類比式水銀溫度計 (b) 數位式溫度計
＿＿＿ 2. 屬於近似的不連續表示法為何？
圖 1-1 溫度變化的計量
(A) 類比表示法 (B) 數位表示法 (C) 對數表示法 (D) 線性系統。
＿＿＿ 3. 適用於抽樣性的不連續表示法為何？
(A) 類比表示法 (B) 數位表示法 (C) 對數表示法 (D) 線性表示法。
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重點掃描 選擇題
3-2 1. 單變數定理 3-3 3. 多變數定理
3-2 ______ 1. 下列布林代數，何者有誤？ 式，可加強學生對全章內容的
加法 乘法 加法 乘法 (A) X + 1 = 1 (B) X‧X = 0 (C) X + X = 0 (D) X‧1 = X。
X + 0 = X X ‧1 = X X + Y = Y + X XY = YX
______ 2. 下列布林等式，何者有誤？
X + 1 = 1 X ‧0 = 0 X + Y + Z XYZ (A) 1 + 1 = 1 (B) BC = CB (C) A + A = 1 (D) AA = 1。 理解，做最有效的複習。
X + X = X X ‧X = X = ( X + Y ) + Z = ( XY ) Z 3-3 ______ 3. 下列布林代數，何者不等於 A ？
= X + ( Y + Z )
= X ( YZ )
X + X = 1 X ‧X = 0
X + YZ X ( Y + Z ) (A) A + AB (B) AB + AB (C) ( A + B ) ( A + B ) (D) A + AB。
X = X = ( X + Y )( X + Z ) = XY + XZ
______ 4. 下列布林代數之恆等式，何者有誤？
X + X Y = X + Y X ( X + Y ) = XY (A) X + YZ = ( X + Y ) ( X + Z ) (B) ( X + Y ) Z = XZ + YZ
3-4 3. 第摩根定理：A + B = A‧B，A‧B = A + B。 (C) A + B = A B (D) A + AB = AB。
______ 5. 布林運算式 B + A‧B =
(A) 0 (B) 1 (C) B + A (D) A。
______ 6. 布林代數式 W + WX + WXY + WXYZ = 6 課後習題
3-5 4. 組合邏輯電路的組合順序是變數本身的補數→補數底下或括號內的運算→先乘 (A) WXYZ (B) 1 (C) 0 (D) W。
後加。 3-4 ______ 7. 下列布林運算式，何者錯誤？
5. 反及閘與反或閘的運算都具有「或」與「及」的功能，且速度又比 AND 與 OR (A) AB + AB = A (B) A + AB = A
閘快，在電路設計經常是以它們為主，故稱通用閘。 (C) AB + AB = A + B (D) A + AB = A + B。 為每章的最後單元，包括選擇
6. 以反及閘來取代其他邏輯閘的要領，就是用第摩根定理將邏輯閘中的「或」運 ______ 8. 布林代數表示式 AB + ( A + B ) C + AB 簡化後結果為下列何者？
算全部以「及」運算來取代。 (A) AB (B) AB + C (C) AB + C (D) AB + C。
7. 用反或閘來取代其他邏輯閘的要領，就是將邏輯閘中的「及」運算用第摩根定 ______ 9. 布林函數 F = A + B + C 與下列何者作用相同？ 題、問答與計算，多元的題型
理予以轉成「或」運算。
(A) A B C (B) A B C (C) A B C (D) A B C。
8. 電路轉成布林代數是「由輸入端開始，依圖逐級寫出各閘輸出的布林代數式」。 ______ 10. 化簡邏輯表示式 AB + ( AB + A B ) 可得 便於檢視學習成效。
(A) A + B (B) A + B (C) A + B (D) A + B。
3-5 ______ 11. 如圖 (1) 所示，其布林函數輸出值為何？
(A) A (B) B (C) AB (D) AB。
圖 (1)
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