Page 6 - ePC10310_數學B第一冊_課本PDF

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1 章首頁
★ 彩繪拋物線 Chapter 1 坐標系與函數圖形
18 以數學相關的魔法趣味開啟新的篇
本章節次
下圖是由同心圓與平行線組 塗色方向 教學時數
合而成的圖形，圖中有許多像菱 1-1.1 數線 章，進入一場奇幻視覺之旅，讓我
1-1.2 實數的次序關係
形的圖形，如右圖一樣，把由交
1-1.3 實數的絕對值
錯點所連結而成的菱形圖，依照
1-1.4 直角坐標系
箭頭方向依序塗色，就能浮現出 1-1 直角坐標 1-1.5 兩點間的距離
拋物線來。 1-1.6 含絕對值的一次方程式與不等式 們來揭開「魔術帽裡的秘密」吧！
1-1.7 中點坐標
1-1.8 分點坐標
1-1.9 三角形重心坐標
1-2.1 函數
1-2.2 函數圖形
1-2 函數及其圖形
1-2.3 線型函數
1-2.4 二次函數
1-3.1 一元二次不等式
1-3.2 判別式 D = b 2 - 4ac > 0 的情形
1-3 一元二次不等式
1-3.3 判別式 D = b 2 - 4ac = 0 的情形
1-3.4 判別式 D = b 2 - 4ac < 0 的情形
魔術帽裡的秘密
蘋果成熟時，掉落在牛頓（Newton，英國人，西元 1643 ～ 1727）的頭上，
因而發現了「地心引力」。而說過「我思故我在」名言的哲學家笛卡兒（René
Descartes，法國人，西元 1596 ～ 1650），傳說，當他躺在床上觀察一隻蜘蛛爬
動時，想出了「直角坐標系」，因笛卡兒介紹了直角坐標系，為了表彰他對數學
的貢獻，直角坐標系又稱「笛卡兒坐標系」。
2 課文 Chapter 1 ★ 坐標系與函數圖形 直角坐標 ★ 1-1
1-1.4 直角坐標系 例題 2
使用生動活潑的「圖像式場景」引 直角坐標系（或平面坐標系）是由兩條互相垂直的數線所組成，其中水平數線 設點 ^a , bh 在第四象限，則點 ^b - a , abh 在第幾象限？
因為點 ^a , bh 在第四象限，
解
稱為橫軸或 x 軸；而另一條鉛直的數線，稱為縱軸或 y 軸，兩軸的交點稱為原點，
所以 a > 0 且 b < 0，
通常以 O 表示，並通常向右與向上為正向，如圖 3 所示。 推得 b - a < 0 且 ab < 0，
發學生學習動機，並在圖表中導入 平面上的任一點 P 向兩軸各作垂線，分別交 x 軸與 y 軸於 A、B 兩點。若 A、B 故點 ^b - a , abh 在第三象限。
兩點在 x 軸與 y 軸上所對應的數，分別為 a、b，則以數對 ^a , bh 來表示 P 點的坐標，
記作 P^a , bh，如圖 4 所示。 跟著做
關鍵解說，創新的呈現方式，讓數 2. 設點 ^a , abh 在第三象限，則點 ^b - a , a 3 h 在第幾象限？
學課程就像是一場精彩華麗的魔幻
1-1.5 兩點間的距離
饗宴。 在數線上有相異兩點 A^ah，B^bh，如圖 6。
圖 3 直角坐標系 圖 4 P 點的坐標
兩個坐標軸將平面劃分成四個區 圖 6 數線上相異兩點的距離
域，如圖 5 所示，以逆時針方向，依
由絕對值的幾何意義可得 A、B 兩點的距離就是兩坐標差的絕對值，即
序稱作第一象限、第二象限、第三象
限與第四象限。
數線上的兩點距離 1 公 式
x 軸上的點均可表為 ^x , 0h，而 y AB = a - b = b - a
軸上的點均可表為 ^0 , yh。
圖 5 象限
4 5
3 雜耍妙錦囊
Chapter 1 ★ 直角坐標 ★
直角坐標 ★ 1-1 1-1
Chapter 1 ★ 坐標系與函數圖形坐標系與函數圖形
1-1 ★ 直角坐標
1-1.4 直角坐標系 例題 2 1-1.3 實數的絕對值
設點 ^a , bh 在第四象限，則點 ^b - a , abh 在第幾象限？
直角坐標系（或平面坐標系）是由兩條互相垂直的數線所組成，其中水平數線 數線上 P 點的坐標為 a，以 a （讀做「a 的絕對值」）來表示 P 點與原點的距離。 對重要的觀念施展整理歸納的戲法，
因為點
解
在國中時，已經學過數線、絕對值與平面直角坐標的觀念，現在，先來複習一 如： 5 = ， - ^a , bh 在第四象限， 0
6
5
稱為橫軸或 x 軸；而另一條鉛直的數線，稱為縱軸或 y 軸，兩軸的交點稱為原點，
6 = 。由於 a 表示距離，所以 a $ 恆成立。
下，以及討論常用的公式吧！ 所以 a > 0 且 b < 0，
通常以 O 表示，並通常向右與向上為正向，如圖 3 所示。
推得 b - a < 0 且 ab < 0，
平面上的任一點 P 向兩軸各作垂線，分別交 x 軸與 y 軸於 A、B 兩點。若 A、B 加強學生對課文的理解。
1-1.1 數線 故點 ^b - a , abh 在第三象限。
兩點在 x 軸與 y 軸上所對應的數，分別為 a、b，則以數對 ^a , bh 來表示 P 點的坐標，
畫一直線，在線上取一點 O 為原點並取定長為單位長，規定與箭頭所指方向 跟著做
記作 P^a , bh，如圖 4 所示。
為正向，與箭頭相反方向為負向，如此就得到一條數線。數線上的每一點都有一個 2. 設點 ^a , abh 在第三象限，則點 ^b - a , a 3 h 在第幾象限？
實數互相對應。若數線上一點 P，其所對應的數為 a，就稱 P 點的坐標為 a，記為 圖 2 實數的絕對值
P(a)。
例題 1
y 1 + ^ 2 x -- y 8h 0 ，求 x、y 之值。
設 x、y 皆為實數，且滿足 x +- 2 =
解 因為 x、y 皆為實數，
0
x
所以 x +- y 1 $ 且 2 -- y 8h 2 $ 0 恆成立，
^
1-1.5 兩點間的距離
圖 1 數線 因此，只有當 x +- = 和 x2 -- = 時，原式才成立，
y
0
8
y
0
1
在數線上有相異兩點 A^ah，B^bh，如圖 6。
y
x +- = 1 0
*
1-1.2 實數的次序關係 即 2 -- = 8 0 ，解得 x = 3，y = - 2。
x
y
3
在數線上，越往正向的點所對應的實數也越大，實數的大小關係具有下列的性質： 4 公式
圖 3 直角坐標系 圖 4 P 點的坐標 跟著做
雜 耍 妙錦囊 1. 設 x、y 皆為實數，且滿足 3 + x 2 y + 7 + ^ 2 x - 3 y - 4h 2 = 0 ，求 x、y 之值。
兩個坐標軸將平面劃分成四個區 圖 6 數線上相異兩點的距離
設 a、b、c 均為實數，則 由絕對值的幾何意義可得 A、B 兩點的距離就是兩坐標差的絕對值，即 4
域，如圖 5 所示，以逆時針方向，依
⑴ 三一律：「a > b、a = b、a < b」三個關係式中，恰有一式會成立。 課文中所導出的公式粉墨登場，使
序稱作第一象限、第二象限、第三象
⑵ 遞移律：若 a > b 且 b > c，則 a > c。
限與第四象限。 不等式的兩邊同時乘以 公
（或除以）一負數時，不
⑶ 加法律：a > b，則 a + c > b + c。 等式的符號要改變方向。 數線上的兩點距離 1 式
x 軸上的點均可表為 ^x , 0h，而 y AB = a - b = b - a
⑷ 乘法律：①若 a > b 且 c > 0，則 ac > bc。
軸上的點均可表為 ^0 , yh。 學生加深印象，亦做為解題時應用
②若 a > b 且 c < 0，則 ac < bc。
⑸ 對任一實數：a，a 2 ≥ 0 恆成立。 圖 5 象限
24 35 的關鍵。