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多項式的四則運算

1 多項式的定義

設 n N∪{0} ，a 0，a 1，a 2，…，a n R，則 f (x)= a n x + a n 1 x n 1 + … + a 1 x + a 0，稱為 x 的實
n
係數多項式，且

當 a n≠0 時， f (x) 為 n 次多項式，或稱 f (x) 的次數為 n ，記為 deg f (x)= n；a n 稱為
f (x) 的領導係數。
a 0 稱為 f x 的常數項。

當 a n = a n 1 = … = a 1 =0，但 a 0≠0，則稱 f x 為零次多項式，deg f x =0。
當 a n = a n 1 = … = a 1 = a 0 =0，則稱 f x 為零多項式，但不討論其次數。

零次多項式與零多項式合稱為常數多項式。
將多項式各項的次方由高而低排列的方式稱為降冪排列，如
f x = a n x + a n 1 x n 1 + … + a 1 x + a 0；將多項式各項的次方，由低而高排列的方式，
n
n
2
稱為升冪排列，如 f (x)= a 0 a 1 x + a 2 x + … a n 1 x n 1 + a n x 。

多項式的判定

下列哪一個代數式是 x 的多項式？ 下列哪些式子為 x 的多項式？
x 1 3x +5 x
2
2
(A) x + 1 (B) x +| x | 3 (A) 3x +2 7x + (B) (C)
2
2 4 x +1 5
(C) 3 (x +1)(x 2) (D) (x +1)(x 2) = 0 (D) 2 x + x +1 (E) 2+ 1 (F) x +3x +2=0
2
2
2
1 x 2 1
3
(E) x (F) x + + x 2 +3 ∵項式中的變數 x 不能在分母，不能在根
x 2
號裡，也不能出現在絕對值裡，且 x 的次
2
f (x)= a n x + a n 1 x n 1 + … + a 1 x + a 0 方必須為正整數或 0；另外，(F) x +3x +2
n
為 x 的多項式，則 n N∪{0}，a i R， =0 是方程式，不是多項式，
i =1，2，3，…，n
∴選(A)(C)(E)。
∵項式中的變數 x 不能在分母，不能在根
號裡，也不能出現在絕對值裡，且 x 的次
方必須為正整數或0；另外，(D) (x +1) (x 2)
=0 是方程式，不是多項式，

∴選(A)(C)。

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