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3 多項式的相等

n
設 f x = a n x + a n 1 x n 1 + … + a 1 x + a 0，g x = b n x + b n 1 x n 1 + … + b 1 x + b 0，則
n
f x = g x 各對應項係數相等，亦即 a n = b n，a n 1 = b n 1，…，a 0 = b 0
多項式恆等定理

設多項式 f x 與 g x 的次數均不超過 n 次，若存在至少 n +1 個相異的實數 ， 2，…，
1
n +1使得 f i = g i ，i =1，2，3，…，n +1，則 f x 恆等於 g x ，記為 f x = g x 。

多項式的相等

3
設 f x = ax + x + bx +1， g x ＝ 3x + cx +5x 設兩多項式 f x =4x 3 9x + ax + b與 g x ＝
3
2
2
2
+ d，若 f x = g x 恆成立，則a + b + c + d = cx + dx +5x 7相等，則a + b + c + d = 。
2
3
。 f x = g x c =4，d = 9，a =5，b = 7
∴ a + b + c + d = 7
f x = g x 各對應項係數相等
f x = g x 對應項係數相等
a = 3，b =5，c =1，d =1
∴ a + b + c + d = 4

多項式恆等定理 1

2
設 f x =3x + ax + b， g x ＝cx + dx 2 2x +3， 設 f x = ax 2 5x +6， g x ＝4x + bx + c，若 f 0
3
2
若 f 0 = g 0 ， f 1 = g 1 ， f 2 = g 2 ， f 3 = = g 0 ， f 1 = g 1 ， f 2 = g 2 ，則a + b + c =
g 3 ，則a + b + c + d = 。 。
依多項式恆等定理可知
f x ，g x 均為次數不大於 n 的多項式，若 f x = g x a =4，b = 5，c =6
存在至少 n +1 個相異實數 ， 2，…， n +1
1
使得 f i = g i ，i =1，2，3，…，n +1， ∴ a + b + c = 5
則 f x = g x

∵f ，g為至多三次多項式，但存在至少 4
個相異數使 f i = g i ，i =1，2，3，4

∴ f x = g x c =0，d =3，a = 2，b =3
a + b + c + d = 4

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