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數列與級數
1-2 等比數列與等比級數

等比級數之應用

設一等比級數 S n =2+4+8+…則滿足 S n >1000 的 設一等比級數 S n =1+3+9+27+…則滿足 S n >700
最小數 n = 。 之最小整數 n = 。

已知a 1 =1，r =3
a 1 r n 1 n
S n = 1． 3 1 1 n
r 1 S n = = (3 1)
3 1 2
1 n
已知a 1 =2，r =2 則 2 (3 1) > 700
2 2 n 1 3 >1401
n
S n = =2 n+1 2
2 1
則 2 n+1 2 > 1000 ∴ n 7
故最小 n =7
2 n+1 >1002
n +1 10
∴ n 9

故最小 n =9

等比級數和之應用
n 個 試求 7 + 77 + 777 + …至第 n 項之和為
試求 9+99 +999 + … +99…9 之和 = 。
。
n 個
7
原式 = (9 +99+999+ … +99…9)
a 1 r n 1 9
S n =
r 1 7 10
= [ (10 n 1) n]（由範例 4 知）
9 9
原式 =(10 1)+(10 2 1)+(10 3 1)+…+(10 n 1) = 70 (10 n 1) 7 n
n
=(10 + 10 +10 + … +10 ) n 81 9
3
2
10 10 n 1
= n
10 1
10
= (10 n 1) n
9

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