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92 雙曲線
(1) 定 義：
設 F 1、F 2 是平面上二相異定點，2 a 為正的定數。平面上至 F 1 與 F 2 的距離之差的絕對值
等於定數 2a 的所有動點 P 所成軌跡圖形為 Γ。若 | PF − 1 PF 2 | 2a < = F F ，則稱 Γ 為雙
1 2
曲線，F 1、F 2 稱為焦點。 F F 被雙曲線所截的線段 AA ，稱為此雙曲線的貫軸。
12
12
(2) 名詞解釋：
焦 點：上述定義中的兩定點 F 1、F 2，稱為雙曲線的焦點。
中心點： F F 的中點 O 稱為雙曲線的中心點。
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焦 距：焦點與中心的距離（等於 c）稱為焦距。
頂 點：設 F F 與雙曲線交於 A 1、A 2 兩點，則此兩點稱為雙曲線的頂點。
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貫 軸：雙曲線兩頂點的連接線段 AA 稱為貫軸（其長度為 2a）。
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2
共軛軸：設 L 為過中心 O，且與貫軸垂直的直線，若以 O 為圓心，b = c − a 為半徑長
2
畫弧，交 L 於兩點 B 1、B 2，則 B B 稱為共軛軸（其長度為 2b）。
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焦半徑：設 P 為雙曲線上任一點，則 PF 、PF 稱為過 P 點的兩焦半徑 （| PF − PF | = 2a）。
1
2
2
1
弦 ：雙曲線上任兩點的連接線段稱為弦。
焦 弦：過焦點的弦稱為焦弦。（有無數多條）
2b 2
正焦弦：與貫軸垂直的焦弦稱為正焦弦。（恰有兩條，其長度為 ）
a
漸近線：過貫軸的兩端點，分別作直線與貫軸垂直；再過共軛軸的兩端點，分別作直線與
共軛軸垂直，此四條直線圍成一個矩形，則其對角線所在的兩直線即為漸近線。
(3) 標準式：
左右型雙曲線的標準式
一雙曲線的貫軸長 2a，兩焦點坐標為 F 1( h + c , k ) 及 F 2( h – c , k )，則雙曲線方程式為
−
−
(xh ) 2 − (y k ) 2 = 1，其中 b = c – a
2
2
2
a 2 b 2
上下型雙曲線的標準式
一雙曲線的貫軸長 2a，兩焦點坐標為 F 1( h , k + c ) 及 F 2( h , k – c )，則雙曲線方程式為
−
−
(yk ) 2 − (x h ) 2 = 1，其中 b = c – a
2
2
2
a 2 b 2
93 漸近線
(1) 左右型雙曲線：
x 2 − y 2 = x ± y = 0，即 bx ay =
±
0
a 2 b 2 1 的漸近線為 a b
−
−
−
−
(xh ) 2 − (y k ) 2 = (xh ) ± (y k ) = 0，即 (bx h− ) a y k ) 0
−
=
±
(
a 2 b 2 1 的漸近線為 a b
(2) 上下型雙曲線：
y 2 − x 2 = y ± x = 0 ，即 by ± ax = 0
a 2 b 2 1 的漸近線為 a b
−
−
−
−
(yk ) 2 − (x h ) 2 = (yk ) ± (x h ) = 0 , (by k ) a (x h ) 0
±
=
−
−
a 2 b 2 1 的漸近線為 a b
xv
