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90 橢 圓
(1) 定 義：
設 F 1 與 F 2 為平面上二定點，2a 為一正的定數。平面上至 F 1 與 F 2 的距離之和等於定數 2a
的動點 P 所成圖形為 Γ。若 PF + 1 PF = 2 2a > F F ，則 Γ 稱為橢圓，F 1 , F 2 稱為焦點。
1 2
(2) 名詞解釋：
焦 點：上述定義中的兩定點 F 1、F 2，稱為橢圓的兩焦點。
中心點： F F 的中點 O 稱為橢圓的中心點。
12
焦 距：焦點與中心的距離稱為焦距（其長為 c）。
頂 點：設 F F 與橢圓交於 A 1、A 2 兩點，過中心點且與 F F 垂直的直線與橢圓交於 B 1、
12
12
B 2 兩點，則 A 1、A 2、B 1、B 2 四點稱為橢圓的頂點。
長 軸： AA 稱為橢圓的長軸（其長度為 2a）。
12
2
短 軸： B B 稱為橢圓的短軸（其長度為 2b，其中 b = a − c ）。
2
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弦 ：橢圓上任兩點的連接線段稱為弦。
焦 弦：過焦點的弦稱為焦弦（有無限多條）。
2b 2
正焦弦：垂直長軸的焦弦稱為正焦弦（有兩條，其長度為 ）。
a
焦半徑：設 P 為橢圓上任一點，則 PF 、 PF 稱為過 P 的兩焦半徑。
1
2
（ PF + PF = 2a）
2
1
(3) 標準式：
左右型橢圓的標準式
一橢圓的長軸長 2a，兩焦點坐標為
F 1( h + c , k ) 及 F 2( h – c , k )，
−
−
(xh ) 2 (y k ) 2
則橢圓方程式為 + = 1，
a 2 b 2
2
2
2
其中 b = a – c 。
上下型橢圓的標準式
一橢圓的長軸長 2a，兩焦點坐標為
F 1( h , k + c ) 及 F 2( h , k – c )，
−
−
(xh ) 2 (y k ) 2
則橢圓方程式為 + = 1，
b 2 a 2
2
2
2
其中 b = a – c 。
91 橢圓的參數式
−
−
(x h ) 2 (y k ) 2
橢圓 Γ： + = 1 的參數式可為
a 2 b 2
⎧ x =+ cosθ
h a
⎨ ，0 ≤ θ < 2π。
k b
⎩ y =+ sinθ
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