Page 27 - ePD035_數學學測模擬與歷屆試題含解析_課本PDF

模擬試題第 1 回 5

 x = y
( 14 ) 10. 空間中，已知直線 L：  與平面 E：x + 2y + 2z = 20 交於一點，若直線
 z = 7

L 在平面 E 上的投影為 L'，則下列哪些點在直線 L' 上？
(1) (2, 2, 7) (2) (1, 2, 2) (3) (2, 1, –2)

(4) (4, 3, 5) (5) (1, 1, 7)。 易 中 難

 x = y 

解 L：  此直線過 A(0, 0, 7)，方向向量 v = (1, 1, 0)
 z = 7

E：x + 2y + 2z = 20，法向量 n = (1, 2, 2)
L 的參數式 (0 + t, 0 + t, 7) = (t, t, 7)
代入 E：得 t + 2t + 14 = 20 ∴ t = 2
∴直線 L 與平面 E，交於一點 B(2, 2, 7)


++
   v ⋅ n  12 0 1 2 2
12 2
v 在 n 上的正射影 a =  ⋅ n = 2 ⋅(, ,) (, ,)
=
| n | 2 3 3 3 3
  1 2 2 2 1 2
−
=
11
0
L' 的方向向量 v' = v − a = ( ,, )( ,, )( ,, − )
3 3 3 3 3 3
L' 上任一點 P 需滿足  P 代入 E 成立（點 P 在平面 E 上）
 
 BP 與 v' 平行
(1) P(2, 2, 7) ⇒  P 代入 E 2 + 4 + 14 = 20 成立
 
⇒  BP =⋅0 v' 成立
(2) P(1, 2, 2) ⇒  P 代入 E 1 + 4 + 4 ≠ 20
(3) P(2, 1, –2) ⇒  P 代入 E 2 + 2 – 4 ≠ 20
(4) P(4, 3, 5) ⇒  P 代入 E 4 + 6 + 10 = 20 成立
 
⇒  BP = (, ,21 − ) 3 v' 成立
2
=
(5) P(1, 1, 7) ⇒  P 代入 E 1 + 2 + 14 ≠ 20。 【空間中的平面與直線】

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