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6 數學學測模擬與歷屆試題

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( 234 ) 11. 已知實係數四次方程式 f (x) = x + bx + cx + dx + 9 = 0，虛數 i =−1 ，選
出正確的選項。

(1) 若整數 α 是此方程式的一根，則 α 是 9 的因數

(2) 若 f (3 + 2i) = 4，則 f (3 – 2i) = 4
(3) 若 f (1) < 0 且 f (2) < 0，則此方程式至少有二個相異實根
5
(4) 至少有一實數 k 滿足 f (k) = k
(5) 此方程式至少有一組共軛虛根。 易 中 難

解 (1) 若 f (x) 為整係數，此選項才正確。

i)
+
4
+
(2) f (32− i) = f (32 = f (32 i) == +44 0i = − 0i = 4
(3) ∵領導係數正
∴ f (+∞) > 0
可知至少有 1 根 x > 2
f (2) < 0
至少有 1 根 x < 1
f (1) < 0
但其餘 2 根，不知實數或虛數
f (–∞) > 0
4
3
2
5
5
(4) 設 g(x) = f (x) – x = x + bx + cx + dx + 9 – x
則 g(x) = 0 為一元五次實係數多項方程式，
因虛根成對，故虛根數量為 0 個、2 個、4 個，
∴ g(x) = 0 的 5 個根之中，至少有 1 個為實根
(5) 四次方程式可能有四實根、二實根二虛根、四虛根 ⇒ 未必至少有一組共軛虛根。
【多項式方程式】

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