Page 13 - ePD12109_數學B跨越講義_課本PDF

重複組合 P10-16
自 n 種不同物中(每類均不少於 m 件)，每次取 m 件一組，各組中每一種相同事物可重複選取，稱
n
為 n 中取 m 的重複組合，組合數以 H 表示。
m
n m
n
n
1. H  C m 1 。 2.若每種至少一件，則每種先分一件，剩下再做重複選取，方法 H mn 種。

m
非負整數解與整數解 P10-16
1. 方程式 x  1 x  2 ...... x  n m ，之非負整數解(含 0)的個數為 H 。
n

m

n
2. 方程式 x  1 x  2 ...... x  n m ，之正整數解(至少 1)的個數為 H mn 。

二項式定理 P10-18
n n
(x  ) y n  C x  0 n n C x  11 C x  2 y  2 ...... C x  y  k ...... C y ，n 為正整數。
n
n n
n

n n k
y 

n
1
2
k
n
1. (x  ) y 的展開式共有 n  1項。其中第 k  1項為 Cx  y ，又稱為一般項。
k
nn k
k
2. C  0 n C  1 n C  2 n ...... C  n n 2 。(組合總數)
n

組合總數
1. 相異物的組合總數： P10-19
自 n 個相異物中，每次任選 0 個、1 個、2 個、……n 個的組合總數為：


n
n
n
C  0 n C  1 n C  2 n ...... C  n n 2 。(PS：至少要選一個  C  1 n C  2 n C  ...... C  n n 2  )
1
3
2. 不盡相異物的組合總數： P10-19
自 n 個物品中，有 m 個相同、 m 個相同、…… m 個相同，則每次選取 1 個、2 個……n 個的
2
r
1



組合總數為 (m  2 1) ...... (m  1) 1。
1) (m 
r
1

子集合的個數 P11-4
n
若集合 A 有 n 個元素時，則集合 A 有 2 個子集。
集合的性質 P11-4
1.
2. 笛摩根定律（De Morgan Laws）：(a)(A B )'  ' A  ' B (b)(A B )'  ' A  ' B 。
集合元素的個數 P11-5
1. (nA ) B  n () n () n A ( ) B 。


A
B
( ) nA


2. (nA B ') n A B ) nA  ( ) B 。

(


U
( )
nA
3. ( ') n ( ) nA 。
()
nA
古典機率： ()PA  。 P11-7
()
nS
擲二顆骰子試驗(或擲二次骰子)點數和的機率 P11-8
點數和事件 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
nA 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
()
() 
PA
()
nS 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
機率的性質 P11-10




1. ( ) 0 ； () 1。 2. 0 PA  PA   ( )
PS
P
( ) 1。 3. ( ') 1 PA 。

4. (PA ) B  P () P () P A ( ) B 。 5. (PA B ')  P ( ) P A  ( ) B 。

A
A
B
條件機率 P11-11
( nA ) B ( P A ) B
在事件 A 發生的情況下，發生事件 B 的條件機率為 (| ) A  PB  。
nA P () A
()

11