Page 13 - ePD035_數學學測模擬與歷屆試題含解析_課本PDF

考前攻略

59. 向量的內積：
    
(1) 設 a 、 b 非零向量，且 θ 為其夾角（0 ≤ θ ≤ π），則向量內積 ab⋅ =| a ⋅| b |cosθ 。
|
  
(2) 若 a = (x 1 , y 1 )， b = (x 2 , y 2 )，則 ab⋅ = xx + yy 。
12
12
  
12
12
(3) 若 a = (x 1 , y 1 , z 1 )， b = (x 2 , y 2 , z 2 )，則 ab⋅ = xx + yy + zz 。
12
  
2
(4) | a | = a a⋅ 。
  
(5) a ⊥ b ⇔ ab = 0 。
⋅

⋅
    ab 
60. 正射影：若 a ， b 的夾角為 θ，則 a 在 b 上的正射影為 (  ) b 。
| b | 2
 
61. 外積性質：若 a = (x 1 , y 1 , z 1 ), b = (x 2 , y 2 , z 2 )
 y z z x x y
(1) a × b = ( 1 1 , 1 1 , 1 1 )。
y 2 z 2 z 2 y 2 x 2 y 2
   
(2) ( a × b ) ⊥ a 且 ( a × b ) ⊥ b 。
    
(3) | a × b | = a 與 b 張出的平行四邊形面積為 | a | | b | sinθ 。
⋅
⋅
       
(4) 由 a = OA ， b = OB ， c = OC 所張成的平行六面體積 =|( a × b ⋅ ) c 。
|
y − y
)，則 L 的斜率為 m = 2 1
62. 斜率：設直線 L 過兩點 A(x 1 , y 1 )，B(x 2 , y 2 。
x − x 1
2
（若 L 是鉛直線，則 L 斜率不存在。）
63. 平面上直線的方向：L 的方程式為 ax + by + c = 0。
a
0
(1) L 的斜率 m =− ( b ≠ ) = tanθ （θ 為該直線與 x 軸正向所夾有向角）。
b

(2) L 的法向量 n = (,
a b)
 
(3) L 的方向向量 v = (, − ( b a, ) 。
b a) 或 v =−
64. 平面上直線的表示法：
(1) 點斜式：斜率 m，過點 (h, k) ⇒ L：(y – k) = m(x – h)。

(2) 斜截式：斜率 m，y 截距 d ⇒ L：y = mx + d。

x y
(3) 截距式：x，y 截距各為 c，d，cd ≠ 0 ⇒ L： + = 1 。
c d

(4) 點法式：法向式為 n = (,
a b) ，過 (h, k) ⇒ L：a(x – h) + b(y – k) = 0。
h bt
  x =+
(5) 參數式：方向向量為 v = (, − , t ∈ 。
b a) ，過 (h, k) ⇒ L： 
k at
 y =−

xi

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